|
Eine Landesaufnahme der anderen Art
Hier geht es nicht um Geographie, sondern um Mathe. Das Land der Restklassen, in denen die seltsamen Nullteiler siedeln, habe ich beim Entzerren (Georeferenzieren) von Karten entdeckt. Dabei müssen Gleichungssysteme gelöst werden.
Zu jeder Zahl m gibt es ein Quadrat mit der Kantenlänge m (oder m+1) in dem sich mitunter nichttriviale Nullteiler befinden.
Alle Zahlen bilden sich in charakteristischen Kartenbildern ab, denen fast eine gewisse Poesie innewohnt. Diese sind unabhängig von Dezimal- oder Hexadezimalsystem. Sie zeigen auch nicht Orte oder Wege. Auf eine rätselhafte Art scheinen sie aber das "Innenleben" der Zahl sichtbar zu machen - ähnlich, wie eine Landkarte eine Landschaft offenlegt. Es wird sichtbar, welche Teiler die Zahl hat, ob es eine Primzahl ist, auch haben Quadrat- und Kubikzahlen jeweils charakteristische Strukturen und Texturen ...
Legende:
- Weiß: kein Nullteiler
- Schwarzer Rand: Triviale Nullteiler
- Schwarze Punkte in den Quadraten: Nichttriviale Nullteiler
2
3
4 Das Pünktchen in der Mitte ist ein erster (nichttrivialer) Nullteiler
5
6 Die Nullteiler beginnen sich in Mustern zu formieren ...
7
8 Langsame Evolution der Zweierpotenzform
9 Ein Quadrat zeugt von einer Quadratzahl
10 Eine Primzahl, multipliziert mit 2
11 Allmählich wird klar: Primzahlen haben keine nichttrivialen Nullteiler ...
12 Viele Nullteiler zeugen hingegen von besonders guter Teilbarkeit
13 Klarer Fall: Primzahl
14 Eine ähnliche Kreuzform wie bei der 10 ...
15 Wer genau hinsieht, erkennt hier die Teiler 3 und 5
16 Zweierpotenz, Quadratzahl, 24 und zugleich 42
17 Klarer Fall: Primzahl
18 Hier steckt offenbar die 2 und die 3 drin
19 Wieder eine Primzahl
20 Eine Primzahl mit 4 multipliziert ...
21 Klar erkennbar: durch 3 teilbar
22 Wieder das typische Kreuz der verdoppelten Primzahl
23 Primzahl
24 Viele Nullteiler: Offensichtlich gut teilbar
25 Das klare Bild eines Primzahlenquadrates
26 Verdoppelte 13 mit typischem Kreuz
27 Eine Dreierpotenz
28 Die Evoluton einer vervierfachten Primzahl wird erkennbar
29 Primzahl
30
31 Primzahl
32 Zweierpotenz
33 Verdreifachte Primzahl
34 Das Kreuz der verdoppelten 17
35 Produkte nahe beieinanderliegender Primzahlen ergeben "gutverteilte" Muster
36 Ein Quadrat, allerdings nicht das einer Primzahl
37 Prim
38 Das typische Bild einer Primzahlenverdoppelung
39 Deutlich erkennbare Teilbarkeit durch 3
40 Auch offenbar gut teilbar: durch 2, 4, 5, 8, 10, 20
41 Prim
42 Doppeltes 21er Kreuz
43 Prim
44 So sehen Primzahlenvierfache aus
45 Offenbar mit Teiler 3
46 Typisches Doppel-Prim-Kreuz
47 Prim
48 Klassisches Bild gut teilbarer Zahlen
49 Wie schon 9 und 25 Primzahlenquadrat
50
51 Verdreifachte Primzahl
52 Vielfach-Primzahl-Doppelkreuz
53
54 Mit klar erkennbaren Teilern 2 und 3
55 Teiler 5 hinterlässt sein Gitter
56
57 Klarer Teiler 3
58 Doppel-Prim-Kreuz
59 Prim
60 Offenbar gut teilbar
61 Prim
62 Wieder eine doppelte Primzahl
63 ...
64 Quadratzahl und Zweierpotenz
65 Klar erkennbarer Teiler 5
66
67 Prim
68 Vierfache Primzahl
69 Verdreifachte Primzahl
70
71 Prim
72 Sehr gut teilbar
73 Prim
74 Doppel-Prim-Kreuz
75 Dreiergitter und Fünfergitter erkennbar
76 Vierfach-Prim-Doppelkreuz
77 Zwei relativ nahe beieinanderliegende Primfaktoren
78 Doppel-Prim-Kreuz
79 Prim
81 Viererpotenz einer Primzahl.
80
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91 13 x 7. Wieder 2 größere Primfaktoren
92
93
94
95
96 Offensichtlich gut teilbar
97
98
99
100
101
Bis Land 101 soll es erst einmal genügen. Oder soll ich doch noch ein wenig weiter kartieren? Dann bitte Mail an info[AT]boehmwanderkarten[DOT]de
Was sich hinter den Nullteilerkarten verbirgt ...
Man nehme ein kleines oder größeres Einmaleins mit einer beliebigen Kantenlänge m. (Es müssen also nicht die 10x10 Kästchen des Schul-Einmaleins sein.) Dann wird das Einmaleins wie gewohnt mit den Produkten von Spalten- und Zeilennummern gefüllt.
Nun teile man den Inhalt jedes Kästchens durch m. Diese Division wird in der Regel nicht aufgehen. Es bleibt also ein Divisionsrest. Kästchen, bei denen ein Rest bleibt, werden weiß dargestellt. Kästchen, in denen es keinen Rest gibt, sind Nullteiler. Diese erhalten schwarze Pixel.
Die hier generierten Nullteilerkarten haben nicht m, sondern m+1 Spalten/Zeilen; so entsteht ein schöner Rahmen.
Aber wozu ist das denn nütze?
Na, man kann damit 100000 Dollar gewinnen. Einfach ein Quadrat mit der
Kantenlänge m = RSA-1024 =
13506641086599522334960321627880596993888147560566¶
70275244851438515265106048595338339402871505719094¶
41798207282164471551373680419703964191743046496589¶
27425623934102086438320211037295872576235850964311¶
05640735015081875106765946292055636855294752135008¶
52879416377328533906109750544334999811150056977236¶
890927563
durchrechnen. Von dieser Zahl RSA-1024 ist nun bekannt, dass sie durch Multiplikation von zwei Primfaktoren erzeugt werden kann. Die Primfaktoren selbst sind aber nicht bekannt. Wer diese findet, erhält das ausgelobte Preisgeld von den RSA Labs.
Weil RSA-1024 nun keine Primzahl ist, kann erwartet werden, dass sie Nullteiler hat. Ist deren Position erst ermittelt, dürften sich die Primfaktoren leicht ermitteln lassen.
Link hierzu: http://www.rsasecurity.com/rsalabs/node.asp?id=2093#RSA768
Nachtrag 20.09.2008: Leider wurde das Preisausschreiben beendet: The challenge is no longer active. - Also doch nichts mit den 100000 Dollar. Aber man kann es ja noch als Hobby betreiben.
Links
http://www2.inf.fh-bonn-rhein-sieg.de/~wschul2s/ring.htm mit bis Restklassenländereien bis zur Größe 20x20.
http://vip.fh-lueneburg.de/mathe-lehramt/krypto/restklassen-strukturen.pdf Knappe Übersicht
Und natürlich die Wikipedia
Literatur
Singh, Simon: Fermats letzter Satz. München: dtv 2001 (6. Aufl.)
Fischer, G.: Lineare Algebra. Viehweg: 2003 (14. Aufl.) - Ca. 35 Euro. Typisches Mathe-Hochschullehrbuch, d. h. fast ausschliesslich mit Formeln gefüllt. Aber auch mit einem instruktiven Foto einem Fels-Überhang im Hochkaisers, der eine Unstetigkeitsstelle illustriert. Damit sind wir wieder bei der kartographischen Reliefdarstellung.